Hypothesis Riemanniana

Linea rufa partem realem, linea caerulea partem imaginariam valorum functionis ζ(s) monstrat, in linea "criticale" dicta ubi Re(s) = 1/2. ζ(s) = 0 ubi lineae ambo axem horizontalem transeunt: ±14.35, ±21.022, etc.

Hypothesis Riemanniana, est coniectura vel hypothesis in theoria numerorum, dicit omnes numeros complexos s ut ζ(s) = 0, praeter valores triviales, partem realem 1/2 habere; ζ(s) = functio zeta Riemanniana. Si vera est, possumus aestimare quot numeri primi sint minores quam numero quolibet n, h.e. π(n).

Quantitas primorum

Theorema clarissimum de numeris primis, "theorema numerorum primorum" dictum, probaverunt Iacobus Hadamard et Carolus Ioannis De La Vallée Poussin anno 1896. Sit π(x) = quot numeri primi minores sunt quam x, et sit Li(x) = "logarithmicum integrale":

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}$

Tunc

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\rm {Li}}(x)}}=1$

Hoc est, Li(x) bene approximat π(x). Hypothesis Riemanniana autem dicit hanc approximationem etiam meliorem esse: hypothesis implicat:

$\forall n\in \mathbb {Z} >3,|\pi (n)-{\rm {Li}}(n)|\leq {\sqrt {n}}\log(n)$

Quia Li(n) ≈ n/log(n), quae quantitas maior est quam ${\sqrt {n}}\log(n)$, vidimus errorem approximationis multo minorem esse quam aut π(n) aut Li(n).

Functio zeta

Functio zeta Riemanniana haec est:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\dots$

Leonhardus Eulerus demonstravit:

$\zeta (s)=\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1},p{\text{ primus}},s{\text{ realis}}>1$

Bernardus Riemann functionem in numeros complexos extendit (praeter s = 1, scilicet). Nunc, si pars realis s > 1,

$\log \zeta (s)=\sum _{pprimus}-\log(1-p^{-s})$

${\frac {d}{ds}}{\frac {s}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$

ubi functio Λ haec est:

Λ(n) = log(p), si n = p^k, p primus, k > 0

= 0 si n nec numerus primus nec potestas numeri primi est

Hoc est, functio zeta positionem numerorum primorum repraesentare videtur.

Bibliographia

• Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. The Princeton Companion to Mathematics. Princetoniae: Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-11880-2
• Marcus du Sautoy. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Novi Eboraci: HarperCollins, 2003. ISBN 0-06-621070-4
• Barry Mazur et William Stein. Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Cantabridgiae: Cambridge University Press, 2016. ISBN 978-1-107-49943-0

Nexus externi

• De Hypothesi, Clay Mathematics Institute
• Prime Pages
• Pour la science

Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!