Roman numeral 10000 CC DD.svg
Latinitas nondum censa

Arithmetica modularis

E Vicipaedia
Jump to navigation Jump to search
Horologium tempus monstrat secundum modulum 12.

Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.

Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notatione

denotamus.

Proprietates[recensere | fontem recensere]

Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:

  • Si , erit
  • Si et , erit
  • Si et , erit
  • Si et , erit
  • Si , erit (ubi )

At si , poterunt a et b esse incongrui.

  • Si autem et k ad m est primus, erit .

Si , poterunt et esse incongrui secundum modulum m.

  • Si autem (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem (theorema Euleri).

Exemplum[recensere | fontem recensere]

Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus , quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.

Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:

Additio secundum modulum 6
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:

Multiplicatio secundum modulum 6
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.

Nexus externi[recensere | fontem recensere]

Commons-logo.svg Vicimedia Communia plura habent quae ad arithmeticam modularem spectant.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

Gauss, Carolus Fridericus. 1801. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.