Theorema fundamentale arithmeticae

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Theorema fundamentale arithmeticae dicit omnem numerum naturalem maiorem quam unum esse productum numerorum primorum, et hunc productum unicum esse -- numquam sunt duas copias factorum eiusdem numeri quae inter se differunt. Est notio magni momenti theoriae numerorum.

Haec est demonstratio.[1] Sit N numerus aliquis. Si N est primus, factores eius sunt N et 1, et nequimus alios factores invenire. Si N est compositus, habet factores. Sit a minimus numerus qui illum N dividit; a debet esse numerus primus (nam, si a esset compositus, a ipse haberet factores, minores quam a, sed hi factores quoque N dividerent). Nunc scimus N = ab; si b est compositus, pone b = cd, et similiter. N igitur est productus factorum primorum.

Nunc debemus demonstrare hunc productum unicum esse. Supponamus dari duos productos,

N = p_1 p_2 ... p_x = q_1 q_2 ... q_y

et omnes numeros p et q primos esse. Quia pi dividit productum numerorum q, debet dividere unum factorem qj, sed, quia primi sunt, hoc significat p_i = q_j. Hoc est, omnis numerus pi est inter numeros q; similiter, omnis numerus q est inter numeros p. Sed fortasse primus aliquis praeest saepius inter p quam inter q (vel saepius inter q quam inter p) -- exempli gratia, quid si haberemus N = 2x2x3 = 2x3x3? Ut vides, hoc nequit esse. Divide utrum productum per p1, deinde per p2, et per omnes numeros p. Si restarent numeri q postquam diviseris per omnes p, aequatio esset 1 = q_a q_b ..., quod est impossibile; similiter, non potest esse plures numeros p quam numeros q. Sunt igitur tanti p quanti q et duo producti sunt eidem.

Euclides hoc theorema non affirmavit, sed in libro septimo Elementorum sunt omnes notiones quae pertineunt. Gauss id probavit, quamquam theorema quod ille nominavit "theorema fundamentale" non erat hoc theorema, sed lex de reciprocitate quadratica.

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Ore, p. 51 sqq.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

  • Gauss, C. F. 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.
  • Ore, Oystein. 1948. Number Theory and Its History. New York: McGraw-Hill.