Functio quadratica

Functio quadratica est functio formae $f(x) = ax^2 + bx + c; a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0$ . Graphium talis functionis parabola est.

Proprietates [recensere]

1.) Omnes functiones quadraticae continuae sunt atque omnibus numeris realibus definiri possunt.

2.) Ad monotoniam functionum quadraticarum parametrum a pertinet. Si $a > 0$ , primum parabola stricte monotone descendit usque ad solum extremum (hic minimum), dum stricte monotone ascendit. Si $a < 0$ , primum stricte monotone ascendit usque ad maximum, dum stricte monotone descendit.

3.) Derivatio talis functionis: $(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$ . Quod haec functio linearis atque talibus functionibus solum unum zerum est, functio quadratica exacte unum extremum habet.

4.) Integralis functionis quadraticae: $\int (ax^2 + bx +c)\, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + d; d \in \mathbb{R}$

5.) Problemum reperiendi zera functionum quadraticarum valde magnum est, nam per eum numeri complexi nati sunt:

$ax^2 + bx + c = 0$ ,

ergo $ax^2 + bx = -c$ ,

ergo $ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = \frac{b^2}{4a} - c$ ,

ergo $(\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}})^2 = \frac{b^2}{4a} - c$ ,

ergo $\sqrt{a}x_{1,2} + \frac{b}{2\sqrt{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a} - c}$ ,

ergo $\sqrt{a}x_{1,2} = -\frac{b}{2\sqrt{a}} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a} - c}$ ,

ergo $\sqrt{a}x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2\sqrt{a}}$ ,

ergo $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Functioni ergo duo zera sunt, si numerus $D = b^2 - 4ac$ (discriminans, quod tres casus solutionum aequationis/zerorum functionis discriminat) positivus, unum zerum, si 0 est. Si autem $D < 0$ , functio nulla zera realia habet. Amplificando $\mathbb{R}$ , mathematici copiam numerorum complexorum $\mathbb{C}$ creaverunt. Hac in copia etiam casu $D < 0$ zera, sed complexa sunt.