Functio quadratica

Functio quadratica est functio formae $f(x)=ax^{2}+bx+c;a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0$. Graphium talis functionis parabola est.

Proprietates

1.) Omnes functiones quadraticae continuae sunt atque omnibus numeris realibus definiri possunt.

2.) Ad monotoniam functionum quadraticarum parametrum a pertinet. Si $a>0$, primum parabola stricte monotone descendit usque ad solum extremum (hic minimum), dum stricte monotone ascendit. Si $a<0$, primum stricte monotone ascendit usque ad maximum, dum stricte monotone descendit.

3.) Derivatio talis functionis: $(ax^{2}+bx+c)'=2ax+b$. Quod haec functio linearis atque talibus functionibus solum unum zerum est, functio quadratica exacte unum extremum habet.

4.) Integralis functionis quadraticae: $\int (ax^{2}+bx+c)\,dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x^{2}+cx+d;d\in \mathbb {R}$

5.) Problemum reperiendi zera functionum quadraticarum valde magnum est, nam per eum numeri complexi nati sunt:

$ax^{2}+bx+c=0$,

ergo $ax^{2}+bx=-c$,

ergo $ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$,

ergo $({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}})^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$,

ergo ${\sqrt {a}}x_{1,2}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}$,

ergo ${\sqrt {a}}x_{1,2}=-{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}$,

ergo ${\sqrt {a}}x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2{\sqrt {a}}}}$,

ergo $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Functioni ergo duo zera sunt, si numerus $D=b^{2}-4ac$ (discriminans, quod tres casus solutionum aequationis/zerorum functionis discriminat) positivus, unum zerum, si 0 est. Si autem $D<0$, functio nulla zera realia habet. Amplificando $\mathbb {R}$, mathematici copiam numerorum complexorum $\mathbb {C}$ creaverunt. Hac in copia etiam casu $D<0$ zera, sed complexa sunt.

6.) Talis functio exacte unum extremum habet; computatur per derivationem functionis:

$(ax^{2}+bx+c)'=2ax+b$

Zerum derivationis extremum dat:

$2ax+b=0$,

ergo $x=-{\frac {b}{2a}}$

Si hic valor in termino functionis substituitur hicque transformatur, coordinatum y extremi reperiri potest: $S(-{\frac {b}{2a}}|{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})$

7.) Derviatio secunda harum functionum semper numerus realis $\neq 0$ est, itaque quibus nulla puncta inflexionis sunt.

Nexus interni

• aequatio quadratica
• numerus complexus
• parabola

Nexus externus

"maths online function plotter" - instrumentum quo graphia functionum describi possunt (lingua anglica)