Aequationes Lagrangi

Aequationes Langrangi sunt aequationes quas physicus Iosephus Ludovicus Lagrange e Newtonianis motus legibus anno 1788 derivavit, ut hae leges facilius exsolvantur et generalizentur, eas vertendo in formam problematis minimam-maximam reperiendi.

Demonstratio

Secundum leges Newtonianas, actuales particularum traiectoriae sunt speciales quia eae admussim praedici possunt. In calculo, omnia puncta specialia x_i cuiusdam functionis f correspondent aut functionis maximo, aut minimo, aut punctis inflexionibus. Haec puncta obtinemus ponendo derivativum ${df}/{dx} = 0$. Quamobrem Iosephus Langrange hypothesim fecit analogam, functionale S quoddam existere cuius minimum respectu particularum traiectoriae $x_{\alpha}(t)$ accidat quando particularum traiectoriae leges Newtonianas sequuntur.

Functionale S quam Lagrange exsistere ponit actio appellatum definitur

$S = \int{ L(x_1,x_2,...x_{\alpha}, \dot{x}_1,\dot{x}_2,...\dot{x}_{\alpha}, t)\, dt}$

ubi L est functio Langrangiana, $x_\alpha$ denotant omnia systematis parametra sicut particularum coordinatas, et $\dot{x}_{\alpha}$ velocitates correspondentes. Et Lagrange posuit

$\frac{\delta S}{\delta x_\alpha} = 0$,

qua aequationes Euler-Lagrange deduxit

$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_\alpha} \ = \ 0$

Hae aequationes exactiter illis Newtonianis corrrespondent, si modo L = T - V ponamus, id est, si functio Lagrangiana ponatur aequalis differentiae inter energiam cineticam et energiam potentialem. Si tribus in dimensionibus singulam particulam arelativisticam energia V potentiali habeamus, functio Langrangiana sua est

$L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})$.

Deinde

$\frac{\partial L}{\partial x_\alpha} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_\alpha},$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \left( \, \dot{x}_\alpha \, \dot{x}_\alpha \, \right) = \ m \, \dot{x}_\alpha,$ et

$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_\alpha} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_\alpha,$

ut possimus aequationes Euler-Lagrange scribere:

$m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$.

Hoc demonstrat aequivalentiam inter leges motus Newtonianas et aequationes Euler-Langrange.

Causa

Hae aequationes excogitatae sunt eo consilio, ut possimus leges Newtonianas facilius in systematibus coordinatorum non Cartesianis applicare et generalizare.

Systema penduli lateri mobili affixi

Exempli gratia sphaeram consideremus, quae filo modo de latere mobile pendet, a methodo Lagrangiana descriptam. Pars suae Lagrangianae cinetica est

$T = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right],$

et pars potentialis est

$V = m g \operatorname{y} = - m g L \cos \theta$

ubi x est horizontalis lateris positio, m est sphaerae massa, M est lateris massa, L est fili longitudo, g est acceleratio libere cadendi et θ est fili angulum respecto lineae imaginariae quae de latere deorsum intendit.

Schema sphaerae et lateris mobilis, fili angulum θ et lateris positonem x monstrans.

Faciendo illas derivationes respecto x, obtinemus

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m L \dot\theta \cos\theta \right] = 0,$

quod monstrat constantem motus quandam. Respecto θ derivando obtinemus

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x L \cos\theta ) \right] = - m (\dot x l \dot \theta + g L) \sin\theta$;

ergo

$\ddot\theta + \frac{\ddot x}{L} \cos\theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$.

Hae solutiones videntur complexae; sed sine aequationibus Lagrangianis, solum legibus Newtonianis utendo, illas solutiones obtinere difficilior fuerit, quod tunc subtilitate modo omnis vis forma vectorale meditanda est.

Functio Lagrangiana contextu relativitatis specialis

Methodus Lagrangiana nos sinit ad contextum relativisticum discriptiones mechanicas facilius generalizare. Exempli gratia particulam onerus electricum habentem consideremus, quae in campo electromagnetico gyrat, in contextu relatvitistica speciali. Functio Lagrangiana huius particulae est:

$L = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}} - q \phi [\vec{x},t] + q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} [\vec{x},t]$

ubi $\vec{x}$ est particulae positio, q suum onus electricum, $\vec{v}= \dot{\vec{x}}$ sua velocitas, $\phi [\vec{x},t]$ tensio electrica in loco $\vec{x}$ temporeque t, et $\vec{A} [\vec{x},t]$ potentiale vectorale.

Applicando aequationes Euler-Lagrange, obtinemus

$0 = - \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}} {\sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right) - q \nabla\phi [\vec{x},t] - q \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t] - q \dot{\vec{x}} \times \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t]$

quod identificamus ut aequationem virium Lorentz

$\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{\vec{x}}} {\sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right) = q \vec{E}[\vec{x},t] - q \dot{\vec{x}} \times \vec{B} [\vec{x},t]$

ubi

$\vec{E}[\vec{x},t] = - \nabla\phi [\vec{x},t] - \partial_t{\vec{A}} [\vec{x},t]$

$\vec{B}[\vec{x},t] = \nabla \times \vec{A} [\vec{x},t]$

sunt campus electricus et campus magneticus quos e aequationibus Maxwellinis obtinemus.

Fontes

• L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed. Butterworth-Heinmann, Oxford, 1976
• John R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2003.
• H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, 1980